Satz von Bayes oder die Wahrscheinlichkeit von Ursachen

Der Satz von Bayes ist eine der Säulen der Wahrscheinlichkeitsrechnung . Es handelt sich um eine Theorie, die Thomas Bayes (1702-1761) im 18. Jahrhundert aufgestellt hat. Aber was ist der Zweck der Forschung dieses berühmten Wissenschaftlers? Die Wahrscheinlichkeit drückt in einem Zufallsprozess das Verhältnis zwischen der Anzahl günstiger Fälle und der Anzahl möglicher Fälle aus.

Es wurden viele Wahrscheinlichkeitstheorien entwickelt, die unsere heutige Existenz bestimmen. Wenn wir zum Arzt gehen, verschreibt er uns das Medikament, das in unserem Fall am wahrscheinlichsten nützlich ist, so wie Werbetreibende ihre Kampagnen den Menschen widmen, die am wahrscheinlichsten das Produkt kaufen, das sie bewerben möchten, oder Touristen und Reisenden, die die Route wählen, auf der es wahrscheinlich am wenigsten Warteschlangen gibt.

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit gehört zu den bekanntesten, daher bevor wir darüber sprechen Satz von Bayes Wir müssen der Erläuterung des ersten einige Zeilen widmen. Um es zu verstehen, geben Sie einfach ein Beispiel .

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit (P), dass eine Person zufällig aus der Erwerbsbevölkerung dieses Landes ausgewählt wird? arbeitslos ?

Nach der Wahrscheinlichkeitstheorie würden die Daten wie folgt ausgedrückt:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person weiblich ist: P (M)
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person männlich ist: P (H)

Da wir wissen, dass 39 % der Bevölkerung aus Frauen bestehen, schließen wir daraus: P (M) = 039.

Damit ist klar: P(H) = 1 – 039 = 061. Das eingangs gestellte Problem liefert uns auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten:

• Wahrscheinlichkeit, dass eine Person arbeitslos ist, obwohl sie weiß, dass sie eine Frau ist -> P (P | M) = 022
• Wahrscheinlichkeit, dass eine Person arbeitslos ist, obwohl sie weiß, dass sie männlich ist – P (P | H) = 014

Mit der Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit wir werden haben:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

Der . Wir beobachten, dass das Ergebnis in der Mitte zwischen den beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten (022) liegt<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Entdecken wir den Satz von Bayes

Nehmen wir nun an, dass ein Erwachsener zufällig ausgewählt wird, um ein Formular auszufüllen, und es wird festgestellt, dass er arbeitslos ist. Wie groß ist in diesem Fall und unter Berücksichtigung des vorherigen Beispiels die Wahrscheinlichkeit, dass diese zufällig ausgewählte Person eine Frau ist -P (M | P) -?

Um dieses Problem zu lösen, wenden wir den Satz von Bayes an Dies wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, indem im Voraus Informationen darüber vorliegen . Wir können die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses A berechnen, wenn wir wissen, dass es bestimmte Merkmale (B) erfüllt.

In diesem Fall geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass die zufällig ausgewählte Person, die ein Formular ausfüllt, eine Frau ist. Aber es

Die Formel des Satzes von Bayes

Wie bei jedem anderen Theorem benötigen wir eine Formel.

Es scheint kompliziert, aber alles hat eine Erklärung. Denken wir in Teilen. Was bedeutet jeder Buchstabe?

B ist das Ereignisworüber wir vorläufige Informationen haben.
• L der Buchstabe A (n) bezieht sich auf die verschiedenen bedingten Ereignisse.
• Im Zählerteil haben wir das bedingte Wahrscheinlichkeit . Damit ist die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass etwas (ein Ereignis A) eintritt, wenn man weiß, dass auch ein anderes Ereignis (B) eintritt. Sie ist als P (A | B) definiert und wird ausgedrückt als: Die Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem B .
• Im Nenner haben wir das Äquivalent von P (B) und es folgt die gleiche Erklärung wie im vorherigen Punkt.

Ein Beispiel

Zurück zum vorherigen Beispiel Angenommen, ein Erwachsener wird zufällig ausgewählt, um einen Fragebogen auszufüllen, und es wird beobachtet, dass er es tut arbeitslos . Wie hoch sind die Chancen, dass diese auserwählte Person weiblich ist?

Wir wissen, dass 39 % der aktiven Bevölkerung Frauen sind, während der Rest Frauen sind Männer . Wir wissen auch, dass der Anteil der arbeitslosen Frauen bei 22 % und der der Männer bei 14 % liegt.

Schließlich wissen wir auch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person arbeitslos ist, 017 beträgt. Wenn wir die Formel des Satzes von Bayes anwenden, erhalten wir das Ergebnis, dass eine Wahrscheinlichkeit von 05 besteht, dass eine zufällig ausgewählte Person unter den Arbeitslosen ist

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Der Satz von Bayes leitet sich aus der Verbindung des zusammengesetzten und des absoluten Wahrscheinlichkeitssatzes ab, die wir zu Beginn erläutert haben. Sein Hauptmerkmal ist, dass es in allen Wahrscheinlichkeitsinterpretationen funktioniert.

Denn damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer Ursache berechnen, die das Ereignis ausgelöst hat Seine Bedeutung liegt in der Art und Weise, wie es das Studium der Statistik historisch beeinflusst hat . Heute sind tatsächlich zwei Hauptschulen bekannt (eine Frequentisten- und eine Bayesianische), die sich ausgehend von der Interpretation dieser Theorie gegenüberstehen.

Wir schließen mit einer Kuriosität: Wussten Sie, dass elektronischer Spam (der von Internet E-Mail-Werbung) Funktioniert es dank des Satzes von Bayes?